LAS CÚBICAS TRIANGULARES ISOMÉTRICAS FACTORIALES
https://www.bubok.es/libros/260693/LAS-CUBICAS-TRIANGULARES-ISOMETRICAS-FACTORIALES

SUMARIO

El origen de este texto se sitúa en la Opinión titulada “Geometría Afín”, publicada por mi compañero David Vergés en el no 363/enero 2013, de La Voz del Colegiado, que es el órgano de comunicación profesional y social de los Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, continuada después por mi parte en la Opinión publicada en el no 365/marzo 2013 de La Voz.
El resultado del artículo de Vergés, suponía la división de la superficie triangular de un triángulo cualquiera, en seis superficies parciales, tres de ellas, triángulos semejantes al triángulo base y las otras tres, paralelogramos de lados respectivamente paralelos a los tres pares distintos de lados del mismo triángulo, mediante paralelas a estos lados incidentes con el centro de gravedad G del triángulo, seguida de la transformación afín de este triángulo en un triángulo equilátero, obteniéndose así, de manera inmediata, los siguientes resultados de las áreas respectivas de triángulos (S’_i, i=1,2,3) y paralelogramos (S_i, i=1,2,3), siendo S el área del triángulo base, ABC ,

S_i = 2S^’_i = 2S/9, i = 1,2,3

Además de la siguiente relación, invariante para cualquier triángulo, entre los respectivos productos de ambas ternas de elementos homólogos,

S₁ S₂ S₃ / S^’₁S^’₂ S^’₃ = 1/8 .

Mi comentario subsiguiente se refirió a una generalización de los resultados anteriores, reemplazando el centro de gravedad del triángulo base por un punto P cualquiera del plano. La superficie total del triángulo queda dividida en tres paralelogramos y tres triángulos, asociados en tres pares formados por cada dos elementos distintos opuestos, conservando las mismas denominaciones anteriores de sus respectivas áreas.
El punto P se determina geométricamente por sus coordenadas trilineales normales absolutas en el triángulo ABC, que son las distancias signadas, a los lados BC, CA, AB; y, también, en otra elección alternativa, que resulta de utilidad principal en la formulación de los resultados finales, por sus coordenadas baricéntricas absolutas, que son las áreas respectivas, asimismo signadas, s₁, s₂, s₃, de cada triángulo PBC, PCA, PAB.
Aplicando expresiones deducidas de s₁ , S₁, S'₁ y dos relaciones más, de los lados y del área, bien conocidas en la geometría elemental del triángulo, se obtenían formulaciones de las áreas que expresan, a continuación, el mencionado resultado generalizado:
1) Las áreas de los tres paralelogramos son inversamente proporcionales a las coordenadas baricéntricas del punto P, y las áreas de sus triángulos asociados son directamente proporcionales a los cuadrados de las mismas coordenadas, cumpliéndose los dos grupos de igualdades siguientes, donde los últimos miembros son los factores de proporcionalidad respectivos:

S₁/s₁^-1 = S₂/s₂^-1= S₃/s₃^-1= 2 s₁s₂s₃ /S

S’₁/s₁²= S’₂/s₂²= S'₃/s₃²= 1/S

2) Para cualquier punto P, el producto de las áreas de los tres paralelogramos y el producto de las áreas de los tres triángulos opuestos son, ambos, directamente proporcionales al producto s₁²s₂²s₃², y la relación entre los dos productos anteriores es independiente del punto elegido y tiene, además, el mismo valor anterior (=1/8), en un triángulo cualquiera y para un punto cualquiera del plano no incidente con los lados del triángulo base. Se cumplen, asimismo, las igualdades que dan el valor de cada producto, dependientes, en común, del producto s₁s₂s₃ = Π :

S₁ S₂ S₃ = 8 S'₁S'₂S'₃ =8(s₁s₂s₃)² /S³.

La familia de cúbicas triangulares, que constituye el contenido y objeto principal de esta publicación, y que denominamos isométricas factoriales, se define por el valor constante del producto Π, en cualquier punto de la curva, de manera que todos los puntos de la curva participan también de valores comunes de los dos productos S₁ S₂ S₃ y S'₁S'₂S'₃ resultantes de la construcción indicada, mediante paralelas, aquí por un punto cualquiera de la curva, a los tres lados del triángulo base.
Así pues, la ecuación de una curva particular, en el sistema coordenado triangular y en las coordenadas baricéntricas, está dada por la misma expresión anterior del propio producto, para un valor real supuesto de Π, cuyas variaciones de signatura, con la convención de signos que se define, y modulares, en distintas regiones del plano, se precisan en el estudio.
Las propiedades que se deducen, facilitan cuatro tipos de representaciones gráficas distintas, de cúbicas de la familia, para puntos definitorios de las mismas, mediante la terna de coordenadas s₁, s₂ , s₃ de un punto cualquiera de cada una de ellas, según la posición de este punto en las distintas regiones del plano.
En primer lugar, se anticipa en el análisis, para su previa utilización en la siguiente representación posterior de la variación planar del parámetro Π, una representación de la cúbica correspondiente al valor particular S³/27 de Π , la que puede considerarse un miembro especialmente diferenciado de la familia que denominamos, de cúbicas isométricas factoriales.
El punto definitorio y singular, G, de esta cúbica, es el centro de gravedad del triángulo ABC, o, también, como definitorios alternativos, cualquiera de sus tres puntos propios respectivamente incidentes con cada mediana.
Los tres tipos de figuras siguientes, representativas de tres subfamilias diferenciadas de cúbicas, completan, además de la primera anterior, las diferentes formas de la cúbica, que están directamente relacionadas con tres parámetros anteriormente analizados cuya definición y subsiguiente formulación, con sus respectivas variaciones planares, han sido también previamente representadas.
Las cuatro representaciones distintas de cúbicas, incluyen leyendas explicativas de su ecuación correspondiente, con indicación de sus respectivos puntos definitorios, elegidos también, como en la anterior, como pertenecientes a sendas ternas de puntos de intersección con cada mediana, con sus respectivas tangentes, paralelas a cada lado opuesto del triángulo base.
Se representan también en cada una de ellas hexágonos inscritos con ternas de lados opuestos paralelos a los lados del triángulo base correspondientes a cualesquiera puntos de cada cúbica, arbitrariamente elegidos, que es una propiedad general de estas cúbicas.

Palabras clave: Áreas triangulares, Baricentro triangular, Teorema de Routh, Cubicas bidimensionales, Coordenadas triangulares baricéntricas, Propiedad isométrica factorial.

Key words: Triangular surfaces, Gravity center, Routh ́s theorem, Bidimensional cubics, Triangular gravity coordinates, Factorial isometric property.

- 1ª publicación en Bubok, 07/07/2019
- Blog: Nuevo ebook (07/07/2019)

OPINIONES DE UN COLEGIADO JUBILADO
https://www.bubok.es/libros/256330/Opiniones-de-un-Colegiado-Jubilado

Sinopsis

En primer lugar, y al objeto de no inducir a confusión al posible lector interesado, el autor quiere ofrecer una justificación del título completo elegido, y, más concretamente, de la utilización del término OPINIONES, que pudiera resultar equívoco, en alguna medida.
La motivación básica de esta publicación es una recopilación ampliada in extenso, con modificaciones actualizadas y/o adiciones complementarias significativas, de la serie de artículos ya publicados en la revista La Voz del Colegiado, que viene siendo el órgano de comunicación, profesional y social, entre los miembros del Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Desde su inicio, se viene aplicando allí la palabra de referencia, Opinión, como epígrafe general, a cualesquiera aportaciones de los colegiados, en todas sus eventuales variantes: las técnicas y profesionales, por supuesto, pero también las científicas, culturales y/o sociales, en su sentido más amplio, e inclusive, entrañables recuerdos dedicados a colegiados fallecidos por parte de los que habíamos sido sus compañeros más cercanos, como es el caso concreto de la Opinión 8: Obituario. En esta publicación se incluyen también otras, sigo empleando la denominación Opiniones, relativas a desarrollos propios posteriores a los remitidos a La Voz, de alguna de las cuales he hecho también referencia anterior en el blog de www.prubper.com .
La dedicación, ya en exclusiva, a la divulgación matemática, en mi etapa creativa postrera a la etapa profesional activa, que comprende las publicaciones en La Voz mencionadas, la edición de cinco e-books en Bubok en ambas ediciones, digital e impresa, y de comentarios y desarrollos adicionales en mi propia página web, trato de complementarla con esta nueva ampliación.
Mi advertencia se dirige por todo ello al lector, en el sentido de que el contenido del libro no se corresponde exactamente con la significación más común de la denominación Opinión, que supone una manifestación hacia otros interlocutores, preferiblemente oral, comprendida por todos, sea o no compartida, inclusive buscando el contraste y/o el debate ante/entre ellos.
Así pues, las diversas exposiciones, centradas, como he dicho, en el procesamiento matemático deductivo, con la mencionada excepción obituaria, se refieren a áreas tan diferenciadas como pueden ser la teoría de números, probabilidad, geometrías multidimensionales o matemáticas recreativas. Su seguimiento requiere por ello una cierta base matemática, como por otro lado ha resultado obligada para todos nosotros a lo largo de nuestra propia formación profesional específica y, en general, para todos los ingenieros y colegas de cualquier especialidad. Descarto aquí, por superfluo, referirme en el mismo sentido a cualquier otro profesional o estudiante relacionado con las distintas ramas de las Ciencias Exactas.
La ordenación de las Opiniones 1 a 10 en el texto, incluída la mencionada Opinión 8, mantiene la de publicación de sus homónimas en La Voz, reagrupadas algunas de ellas como subtítulos en la misma unidad, por corresponder las mismas a distintos desarrollos afines sobre una definición matemática común. En particular en la Opinión 10 se agrupan las ocho publicadas relacionadas con una condición mítica tradicional del numero 3 o con su representación geométrica más elemental, igualmente telúrica, el triángulo. Me refiero, también, en particular, como algunos de los temas concretos tratados más significativos, al Su Doku, la inducción matemática, la trisección del ángulo, el Pitágoras multidimensional, problemas de optimizaciones tridimensionales o relaciones numéricas asociadas a la distribución, aún no formulada, de los números primos en la serie de los números naturales.
La ordenación subsiguiente de las Opiniones adicionales 11 a 15, corresponde asimismo a sus respectivos orígenes en una creación posterior, referida a diferentes temáticas, sic, polaridades en haces de cónicas, una votación singular, las curvas rectificables, la aporía de Zenón o las cuaternas hiperboloídicas (en una versión libre del término francés) en las cuádricas regladas, con un denominador común, en relación con las Opiniones 11 a 14 y, también, con las anteriores Opiniones 7, 10.4 y 10.6, que ha venido siendo la comunicación, aunque intermitente, amistosamente continuada, mantenida por vía digital con nuestro compañero David Vergés, en relación con sus propias sucesivas publicaciones también en La Voz.
En cualquier caso y consecuentemente con el objetivo primordial de nuestra revista, La Voz, traté, en todas las Opiniones allí publicadas, de aliviar algo el rigor de la lógica matemática, complementándola con diversas anotaciones y observaciones en diversos ámbitos más generalizados, y hago aquí mención individualizada de la Opinión 4, con el título Azar, Creatividad y Tecnología, y, en diferentes ocasiones, justificadas por su relación temática, con referencias a otros compañeros autores y/o referencias más personales a algunos otros colegiados meritorios o propias, como fue el comienzo de mi relación comunicativa, antes citada. Por otro lado, en la reproducción de determinadas Opiniones se han suprimido algunas otras menciones profesionales individuales, incluídas en sus versiones originales, por ser carentes de cualquier significación fuera del ámbito colegial.

Palabras clave: Su Doku, Inducción Matemática, Trisección Angular, Pitágoras multidimensional, Optimización tridimensional, Números primos, Polaridad, Haz de cónicas, Votación, Curva rectificable, Aporía de Zenón, Cuádrica reglada, Cuaterna hiperboloídica.

Key words: Su Doku, Mathematical Induction, Angle Trisection, Multidimensional Pythagorean theorem, Tridimensional Optimization, Prime Numbers, Polarities in Pencils of Conics, Voting, Rectifiable Curves, Zenon aporia, Ruled Quadric, Hyperbolic line quaternion.

- 1ª publicación en Bubok, 08/06/2018
- Blog: comentario sobre elaboración y antecedentes del texto, 15/06/2018

LAS CÚBICAS PLANAS
http://www.bubok.es/libros/225410/LAS-CUBICAS-PLANAS

Sinopsis

El objeto del texto es el estudio generalizado, a través de un análisis sistematizado, de las cúbicas planas reales, esto es, de las curvas algébricas con tres puntos de intersección con una recta del plano, definidas por la anulación de polinomios enteros de tercer grado en el sistema coordenado lineal empleado, con todos los coeficientes reales, que son representativas de cúbicas asimismo reales. Las publicaciones [5] y [6] del autor, incluídas en las Referencias, son un antecedente significativo.
El Capítulo I es una revisión de la propia definición y de las propiedades fundamentales de las cúbicas planas, justificativa de la distinción entre las tres clases de cúbicas C6, C4 y C3.
Los Capítulos II y III, que son conjuntamente trasunto muy ampliado de [6], están dedicados a la construcción de la familia de C6-cúbicas K(F,D), que generaliza dos cúbicas triangulares particulares K y K’ estudiadas en [5], utilizando una transformación cuadrática involutiva cualquiera relativa al triángulo de referencia, sustitutiva de la inversión triangular aplicada en la anterior generación unificada de K y K’ en [5].
El Capítulo IV es una explotación de propiedades demostradas en los dos anteriores, de las que se derivan invarianzas generalizadas con relación a infinitas transformaciones cuadráticas involutivas, cada una de ellas relativa a un punto cualquiera de la cúbica. Se apuntan asimismo extensiones de estas propiedades a las cúbicas de tipos C3 y C4.
El objeto del Capítulo V es la definición de pares de cúbicas K(F,D) y K(f,D) que generalizan una relación paralela análoga a la existente entre las cúbicas K y K’ en el contexto global de las C6-cúbicas, mientras el Capítulo VI es la aplicación de las propiedades de la familia general de cúbicas K(F,D) a la definición particular de las cúbicas K y K’ específicas. Se prueba la incidencia de cada una de ellas con sendos conjuntos de 46 y 44 puntos significativos, relativos al triángulo base, obtenidos mediante construcciones geométricas elementales.
Los Capítulos VII, VIII y IX se dedican, de nuevo, al estudio de propiedades generales de los tres tipos distintos de cúbicas.
En primer lugar, en el Capítulo VII se establece una nueva caracterización involutiva de las cúbicas, si bien, más restringida, por ser sólo aplicable, en común, a las cúbicas C6 y C4.
En el Capítulo VIII se formaliza, por el contrario, una generación integral común de las cúbicas C6, C4 y C3, mediante aplicación de una transformación cuadrática involutiva general, referida a un haz de cónicas, y su adaptación a la generación de cada uno de los tipos mediante selecciones convenientes del haz. Los resultados obtenidos representan una extensión del planteamiento referido básicamente a las C6-cúbicas en los Capítulos II a VI anteriores.
El Capítulo IX está dedicado, igualmente, a una generación alternativa general, extendida, de nuevo, a los tres tipos de cúbicas, mediante intersecciones de pares de elementos, respectivamente correspondientes a sendos haces, lineal y cuadrático, entre los que se establece una relación homográfica. Esta segunda  generación completa es, así, paralela, a la generación clásica de las cónicas, mediante intersección de elementos homólogos en una homografía entre dos haces lineales.
Finalmente, el Capítulo X se dedica, en exclusiva, a las cúbicas unicursales, es decir, a los dos tipos de cúbicas C4 y C3, con especial incidencia en la consideración de la propiedad analagmática y sus derivaciones secuenciales.

Palabras clave: Cúbicas 2D, transformación cuadrática involutiva, punto básico, propiedad analagmática, cúbica elíptica, cúbica unicursal, transformación homográfica, configuración.

Key words: Cubics 2D, quadratic involutive transformation, pivot, anallagmatic property, elliptic cubic, unicursal cubic, homography, configuration.

- 1ª publicación en Bubok, 07/06/2013
- Blog: comentario sobre elaboración y antecedentes del texto, 10/06/2013

GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA EN ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES
http://www.bubok.es/libros/211306/GEOMETRIA-DUAL-INVOLUTIVA-EN-ESPACIOS-MULTIDIMENSIONALES

Sinopsis

El concepto de la geometría dual involutiva, que se desarrolla en el texto, está basado en la idea de hacer que dos puntos, P y P´, situados en un espacio N-dimensional, definido por un N-simplex, representen un papel similar al del centroide y el ortocentro en relación con propiedades clásicas del triángulo, como son la recta de Euler y el círculo de los nueve puntos. El comportamiento proyectivo simétrico de uno y otro punto se pone de manifiesto a partir de la denominada operación de duplicación, esto es, la consideración simultánea de dos construcciones paralelas basadas en la sustitución mutua recíproca de los puntos P y P´, y, en particular, en su caso, en la identificación de ambas construcciones resultantes finales, que llamamos autoduplicadas.
La contribución principal obtenida es la definición de un haz de hipersuperficies de segundo grado asociadas con el N-simplex de referencia y el par (P,P´). Mediante el análisis del haz, se generalizan algunas construcciones usuales de la geometría métrica ordinaria tradicional en el plano y se obtienen numerosos resultados adicionales.

A partir de esta idea básica, el libro se estructura en cinco Capítulos y un Apéndice. En el Capítulo I se lleva a cabo directamente el estudio multidimensional, reservando el tratamiento bidimensional para el Capítulo II, como aplicación particularizada del estudio general en el Capítulo I. Se hace aquí, también, referencia a una publicación anterior del autor, limitada al espacio bidimensional, en artículo en colaboración, en una revista especializada.

El Capítulo III es una extensión novedosa del Capítulo II que supone la noción y el desarrollo de una triple simetría específica de la geometría dual anterior en el plano, que no es ya transferible a espacios de dimensiones distintas de dos.

El Capítulo IV retoma el planteamiento generalizado del Capítulo I, con su desarrollo, en especial, en espacios cartesianos ortonormales multidimensionales, y partiendo de una elección determinada de los dos puntos básicos, con una condición adicional impuesta al N-simplex, que es su propiedad ortocéntrica.

El Capítulo V se refiere a la geometría correlativa paralela, basada en la sustitución mutatis mutandis de los términos punto/(N-1)-hiperplano en el espacio N-dimensional. Fuera ya del campo dual, se añade un Apéndice relativo a propiedades de un tetraedro cualquiera en el espacio tridimensional, incluída la generación de cinco cuádricas asociadas, que complementan el análisis restringido a la clase especial de un politopo ortocéntrico, y, en particular, de un tetraedro ortocéntrico, efectuado en el Capítulo IV.

Palabras clave: Geometría dual involutiva, espacio N-dimensional, N-politopo, geometría correlativa, elementos armónicos asociados, recta de Euler, círculo de los nueve puntos

Keywords: Dual involutive geometry, N-dimensional space, N-simplex, correlative geometry, harmonic associate elements, Euler line, nine points circle

TRANSFORMACIONES Y FUNCIONES CON MATRICES HERMÍTICAS
http://www.bubok.es/libro/detalles/198093/TRANSFORMACIONES-Y-FUNCIONES-CON-MATRICES-HERMITICAS

Sinopsis

Este nuevo texto es la continuación y complemento de nuestra publicación anterior en bubok “Transformaciones elementales y compuestas con matrices y determinantes”, referido aquí a transformaciones y aplicaciones con utilización de la clase especial de las matrices hermíticas, que desempeñan un papel primordial en el tratamiento y solución de numerosos problemas físicos relacionados con métodos variacionales.

Su contenido se estructura en dos partes diferenciadas. Los Capítulos I a VI siguen la línea del análisis estrictamente matricial del texto anterior. En el Capítulo I se formula una descomposición sumatoria de cualquier matriz y también la relativa a sus transformadas compuestas. En el mismo Capítulo se extiende el concepto de función vectorial a dos funciones matriciales de naturaleza respectiva matricial y escalar, para las cuales se aplica la anterior descomposición sumatoria. En los Capítulos II a VI se refieren las definiciones anteriores concretamente a las matrices hermíticas y se deducen generalizaciones de algunas expresiones y teoremas clásicos.

Los Capítulos VII a X, aunque se mantienen igualmente en el terreno de los desarrollos matemáticos matriciales, se aplican ya a la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios con inclusión de restricciones lineales, directamente relacionados con las aplicaciones de tipo variacional apuntadas, de las que se incluyen referencias concretas de otras publicaciones anteriores en el área de la ingeniería. En los Capítulos VII y VIII, la consideración de un método penalti particular, alternativo al método directo de reducción, usual en la solución de estos sistemas, permite la deducción adicional de diversos desarrollos asintóticos en el Capítulo IX. Finalmente, en el Capítulo X se analizan en detalle algunos casos con matrices de formas especiales, que han sido también objeto de las referencias citadas.

Palabras clave: Matrices hermíticas, Transformaciones ortogonales, Autovalores, Ecuación característica, Principio variacional, Sistemas diferenciales lineales, Método penalti, Desarrollos asintóticos matriciales.

Key Words: Hermitian matrices, Orthogonal transformations, Eigenvalues, Characteristic equation, Variational principle, Diferential linear systems, Penalty method, Matrix asymptotic developments.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Y COMPUESTAS CON MATRICES Y DETERMINANTES
http://www.bubok.com/libros/173592/TRANSFORMACIONES-ELEMENTALES-Y-COMPUESTAS-CON-MATRICES-Y-DETERMINANTES

Sinopsis

En los Capítulos I y II se hace una revisión de las propiedades y teoremas fundamentales de matrices y determinantes, con énfasis en el análisis de transformaciones con utilización de matrices elementales y matrices compuestas. Su aplicación permite obtener expresiones formales sintetizadas de los principales teoremas clásicos, que se definen de forma descriptiva en la literatura matemática tradicional. Se consideran, en profundidad, algunas propiedades singulares de la transformación compuesta. Se deduce, también, un sistema combinatorio de representación numérica en la aritmética modular, con base en el estudio del proceso de formación de las matrices compuestas.

En el Capítulo III se aplican transformaciones elementales a la definición de una forma determinante alternativa ampliada, aplicable a funciones matriciales, que incluyan operaciones mixtas de sumas y productos de matrices, y, en particular, al desarrollo del determinante asociado a la ecuación característica de una matriz . En el Capítulo IV se formulan métodos de reducción de determinantes y de reducción de la matriz inversa de una matriz regular, y se obtienen otras expresiones formales relativas a determinantes compuestos.

Palabras clave: Determinantes y matrices, matrices elementales, operaciones elementales, matriz compuesta, rango, función multilineal, forma determinante alternativa, determinante compuesto, identidad extensional, ecuación característica.

Key Words: Determinants and matrices, elementary matrices, elementary operations, compound matrix, rank, multilineal function, alternative determinant form, compound determinant, extensional identity, characteristic equation.

UNA EXTENSIÓN DEL TEOREMA GENERALIZADO DE PITÁGORAS EN ESPACIOS n-DIMENSIONALES
http://www.bubok.com/libros/22404/UNA-EXTENSION-DEL-TEOREMA-GENERALIZADO-DE-PITAGORAS-EN-ESPACIOS-nDIMENSIONALES

Sinopsis

El texto se refiere a generalizaciones del Teorema de Pitágoras en espacios n-dimensionales. Se hace una revisión de referencias publicadas sobre esta cuestión, y se señalan las limitaciones de algunos planteamientos particulares. La revisión, a continuación, de otros planteamientos más generales, se resume en una fórmula pitagórica universal, relativa a cualquier m-politopo convexo, de dimensión m en En (m<n), y a sus proyecciones sobre subespacios de su misma dimensión m.

El análisis se complementa con una extensión de la fórmula generalizada indicada, referida al mismo m-politopo convexo en En, y a sus proyecciones sobre subespacios de cualquier dimensión h (h<n), igual o superior a m, y la deducción de una fórmula cuasi pitagórica más general. Se apuntan otras consideraciones en el plano teórico, que justifican la aplicación del Teorema a cualquier politopo y/o figura genérica en el espacio n-dimensional.

Se incluye, también, un Apéndice relativo a propiedades del politopo base considerado en las referencias primeras, con planteamientos particulares, que implican una condición específica de ortonormalidad del politopo, en el espacio En.

Palabras clave: Teorema de Pitágoras Generalizado Multidimensional; k-Politopo/k-Volumen; k-Simplex/Convexidad; Ortocentro en el espacio n-dimensional; Politopo Ortocéntrico; Matrices Compuestas.

Key Words: Generalized Multidimensional Pythagoras Theorem; k-Polytope/k-Volume; k-Simplex/Convexity; Orthocenter in n-Dimensional Spaces; Orthocentric Polytope; Compound Matrices.